Unterrichtsmaterialien Analysis: Ganze Werke
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Mathematik
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Gesamtwerk
Untersuchung einer Exponentialfunktion
Funktionsuntersuchungen mit Eigenschaftsbestimmungen gehören zu den Standardaufgaben des Analysis-Unterrichts der Oberstufe. Ebenso können Figuren zwischen den Graphen der Funktion und der x-Achse gelegt werden, sodass der Flächeninhalt maximal wird. Die Funktionsuntersuchung erweitert der Beitrag damit um Extremalwertaufgaben. Nimmt man zum Graph einer Funktion noch den Graphen der Ableitungsfunktion hinzu, so kann man nicht nur Flächenberechnungen zwischen dem Graphen der Ausgangsfunktion und der x-Achse, sondern auch zwischen den Graphen von Funktion und Ableitungsfunktion durchführen. Der Graph der Exponentialfunktion bildet bei einer weiteren Aufgabe den Querschnitt eines Körpers, bei dem die Jugendlichen bestimmte Größen berechnen. Ebenso bildet der in Richtung der x-Achse gestreckte Graph den Querschnitt einer Steilküste. Anwendungsaufgaben stellen bestimmte Anforderungen an diese Steilküste, welche die Lernenden lösen.
Gesamtwerk
Graphen verschieben, strecken und spiegeln
Am Anfang steht eine klassische Kurvendiskussion. Sie führt auf einen Graphen, den man als Silhouette eines Fisches interpretieren kann. Aus dieser Grundidee entstand die Anregung zur Variierung von Funktionsgleichungen, um durch Verschieben, Spiegeln und Strecken aus einer „Urform“ ganze „Fischschwärme“ modellhaft grafisch darzustellen. Dabei bearbeiten die Lernenden verschiedene Funktionsklassen. Einiges können die Jugendlichen hilfsmittelfrei realisieren, für andere Funktionen ist die Verwendung eines grafikfähigen CAS-Rechners hilfreich. Als Lernerfolgskontrolle bietet der Beitrag ein Arbeitsblatt an, bei dem die Schülerinnen und Schüler ebenfalls einige Aufgaben ohne digitale Hilfsmittel und andere mit solchen Rechnern lösen sollen.
Gesamtwerk
Die Fläche zwischen zwei Graphen mithilfe von Integralrechnung bestimmen
Im Kernstück dieser Unterrichtseinheit erarbeitet sich Ihr Oberstufenkurs im Mathematikunterricht die Formel zur Berechnung einer Fläche zwischen zwei Graphen im Themengebiet der Integralrechnung selbst. Durch die Heranführung an das Thema mithilfe des Genfersees werden die Lernenden durch ein hohes Maß an Realitätsbezug sowie das eigenständige Lernen motiviert. Die Einheit bietet zudem vielfältige Differenzierungsmöglichkeiten, sowohl bei der Erarbeitungsphase als auch bei den anschließenden Übungen.
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Aufgefrischt-und-wiederholt-Karten Mathematik
Wer kennt das nicht? Durch Krankheiten, Unterrichtsausfall, Corona, Ferien, Ausflüge oder Klassenfahrten ist die Lernzeit oft sehr kurz. Sie hätten gerne mehr Zeit, um wichtige Themen noch einmal aufzufrischen und mit der Klasse zu wiederholen? Und suchen schnell in verschiedenen Büchern und Heften Arbeitsblätter zusammen, kopieren sie und merken dann, dass manche Lernende lieber andere Themengebiete wiederholen sollten und diese Aufgaben teils überflüssig für sie waren ... Mit unseren 55 Karten bieten wir Ihnen die Lösung für Ihr Problem, denn hier werden die wichtigsten Themen aufgefrischt und wiederholt. Die Schüler*innen können dabei ganz individuell an ihren Defiziten arbeiten. Die Karten sind immer gleich aufgebaut: Auf der Vorderseite steht eine knappe und übersichtliche Erklärung, auf der Rückseite gibt es passende Aufgaben. Lösungen zur Selbstkontrolle runden das Angebot ab! Die Karten sind frei im Unterricht einsetzbar: jeden Tag 10 bis 15 Minuten oder innerhalb einer vorgegebenen Lernzeit - so werden Lernrückstände leicht aufgeholt!
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Jetzt geht's rund
Bei Extremwertaufgaben geht es bekanntlich darum, aus der Menge aller Lösungen diejenige für ein bestimmtes Problem zu ermitteln, die bei Berücksichtigung vorgegebener Bedingungen (Nebenbedingungen) die bestmögliche darstellt. Dabei bietet die Differentialrechnung Untersuchungsmethoden für eine exakte, umfassende und schnelle Analyse solcher Funktionen. Somit spielt sie nicht nur bei der Kurvendiskussion und der Rekonstruktion von Funktionsgleichungen, sondern auch im Rahmen der Extremalproblematik bei der Lösung von Alltags- und innermathematischen Problemen eine wesentliche Rolle. In diesem Beitrag befassen sich die Schülerinnen und Schüler mit einer Reihe von Extremwertaufgaben, bei denen sich alles um die Berechnung von Volumen und Oberflächen von Zylindern und Kugeln dreht.
Verwandte Themen
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Mathematik im Kontext Physik
Sind Sie experimentierfreudig? Gerade im Mathematikunterricht lassen sich realistische Inhalte einbeziehen und Verbindungen zu anderen Fächern aufzeigen. Die Physik bietet dafür reichhaltige Kontexte – sei es als Aufhänger und Ausgangspunkt für mathematische Fragen oder als Anwendung von bereits entwickeltem mathematischem Wissen. Entdecken Sie in dieser Ausgabe Lerngegenstände, die in Bezug auf physikalische Phänomene einen echten inhaltlichen Mehrwert für den Mathematikunterricht bieten und über illustrative Anreicherungen hinausgehen. Auch wenn Physik nicht Ihr Unterrichtsfach ist, möchten wir Mut machen, an geeigneter Stelle gezielt die Verbindung zur Physik zu suchen. Aus dem Inhalt: Unser Sonnensystem maßstäblich begreifen: Größen in der Astronomie Die Dichte als zusammengesetzte Größe: Die Bedeutung des Zwei- bzw. Dreisatzes Mit der Holzeisenbahn zu Funktionen: Bewegungsvorgänge mathematisch beschreiben Die Eintauchtiefe einer Schwimmkerze: Modellieren an der Schnittstelle Mathematik/Physik Die zugehörige MatheWelt Be-„schwingt“ zur Sinusfunktion verbindet Mathe, Musik und Physik: Mit dem Programm Audacitiy werden Töne sichtbar – und Sinusschwingungen untersucht.
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digital unterrichten – Mathematik -10/2021
digital unterrichten – Mathematik -10/2021
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Kurvenanpassung
Interaktive Simulationen eignen sich im Mathematikunterricht zur Visualisierung von Problemstellungen und Zusammenhängen. Ermöglichen Sie Ihren Schülerinnen und Schülern, durch das eigenständige Experimentieren und Entdecken eine inhaltliche Vorstellung für die Bedeutung des r2-Wertes zu entwickeln. Durch die Möglichkeit, die Daten interaktiv zu verändern, erhalten die Lernenden die Chance, die Veränderungen der Regressionsgerade und des r2-Wertes zu beobachten.
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Ableitungen im Buchstabennetz
Rätsel faszinieren Schülerinnen und Schüler seit ihrer Kindheit. Während sie beim Buchstabensalat Worte streichen und am Ende ein Lösungswort ablesen können, werden sie im vorliegenden Beitrag durch berechnete Steigungen, die ein Graph einer Funktion an einer Stelle annimmt, gelenkt, um einen Lösungssatz in einem Buchstabennetz zu finden. Der Beitrag macht sich somit den motivierenden Aspekt von Rätseln zunutze. Zur Berechnung der Steigungen müssen die Lernenden die Summen-, Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel bei unterschiedlichen Funktionsklassen anwenden.
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Extremwertprobleme bei Punkte-, Geraden- und Ebenenscharen
Wählt man für den Parameter bei einer Punkte-, Geraden- oder Ebenenschar einen gültigen Zahlenwert, so erhält man genau einen Punkt, eine Gerade oder eine Ebene. Im Beitrag überprüfen die Schülerinnen und Schüler die Lagebeziehung von Punkten der Schar zu einer Geraden bzw. zu einer Ebene oder von Geraden einer Schar zu einer Ebene. Die Lernenden bestimmen den Parameter so, dass bestimmte Eigenschaften wie die Gleichschenkligkeit von Dreiecken erfüllt sind. Die Bestimmung des Parameters kann zu einem Extremwertproblem führen, bei dem die Zielfunktion aus einer Funktion besteht, die selbst aus einer Betragsfunktion und einer Wurzelfunktion verkettet ist. Mit den Methoden der Analysis ermitteln die Jugendlichen hierbei das Extremum.
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Wirtschaftsmathematik: 77 Aufgaben, die Bachelorstudierende beherrschen müssen
Jutta Arrenberg stellt 77 Klausuraufgaben mit Lösungen vor. Im Mittelpunkt stehen u.a. die Matrizenrechnung sowie Gleichungssysteme, die Grenzwerte und die Differentiation von Funktionen mit dazugehöriger (partieller) Ableitung, die Kurvendiskussion von f(x) sowie f(x,y) und last but not least die Extremstellen unter Nebenbedingungen mit der Einsetz- und der Lagrange-Methode. Auf häufig gemachte Fehler in Klausuren weist die Autorin explizit hin, ebenso auf die aufzuwendende Zeit und den Schwierigkeitsgrad pro Aufgabe. Auch alle wichtigen Formeln aus der Schulzeit und dem Studium sind im Buch zu finden. Zudem verrät sie, wie sich Studierende richtig auf die Prüfung vorbereiten, und gibt Tipps für die Klausur.
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Ableitung - verstehen und anwenden
Dieser Unterrichtsbeitrag behandelt das Thema Ableitung, die Grundlage für alle Funktionenbetrachtungen in der Oberstufe. Damit die Ableitung für die Schülerinnen und Schüler nicht nur ein abstrakter Begriff bleibt, wird sie zuerst mithilfe von GeoGebra und eigenen Grafiken visualisiert. In diesem Beitrag geht es insbesondere darum, selbst aktiv zu werden und in Zusammenarbeit mit anderen den Ableitungsbegriff zu verstehen und die Ableitungsregeln so zu verinnerlichen, um den Schrecken vor ihnen zu verlieren.
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Ableitung von Exponentialfunktionen
Ausmalbilder bzw. Mandalas kennen die Schülerinnen und Schüler seit ihrer Kindheit. Der Beitrag macht sich den motivierenden Aspekt von Ausmalbildern zunutze. Vorwiegend durch Anwenden der Summen-, Produkt- und Kettenregel bestimmen die Lernenden die Ableitung von Exponentialfunktionen und entdecken durch Vergleich mit den vorgegebenen Ableitungen die auszumalende Fläche.
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Der Fragebogen
Von der Idee hin zur statistischen Auswertung von Erhebungen - das praxisnahe Lehrbuch in bereits 6. Auflage! Wie plant man eine empirische Erhebung? Wie gestaltet man einen Fragebogen? Wie werden die Daten analysiert und interpretiert? In gut nachvollziehbaren Schritten bietet dieses Lehrbuch einen praktischen Leitfaden für die Umsetzung wissenschaftlicher Erhebungen. Das Buch behandelt von der Formulierung einer Forschungsidee über die Konstruktion eines Fragebogens bis hin zu den wichtigsten Auswertungsschritten mit dem Statistikprogramm SPSS, Version 26, alle wichtigen Stufen und beinhaltet viele Beispiele.
Gesamtwerk
Das Skalarprodukt berechnen, geometrisch interpretieren und nutzen
Dieser Beitrag bietet Beispiele und Aufgaben (mit Lösungen) zum Thema „Skalarprodukt“ an. Es geht darum, dass die Schülerinnen und Schüler das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen, geometrisch interpretieren und bei Berechnungen sicher anwenden können. Mithilfe des Skalarprodukts ist es z. B. möglich, den Abstand eines Punktes von einer Geraden, den Schnittwinkel zweier Geraden oder den geringsten Abstand zweier windschiefer geradliniger Flugbahnen zu berechnen.
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