Unterrichtsmaterialien Analytische Geometrie: Ganze Werke Seite 3/8
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Mathematik
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Flugzeug und Ball
Am Beispiel eines Flugzeugs und eines Balls betrachten die Schülerinnen und Schüler eine geradlinige, gleichförmige Bewegung. Anhand vorgegebener Positionen des Flugzeugs treffen sie Vorhersagen darüber, zu welchen Zeitpunkten es andere Punkte erreichen und wie hoch es dabei fliegen wird. Ferner untersuchen die Lernenden, welchen Weg ein geworfener Ball in einem quaderförmigen Raum zurücklegt. Dabei muss auch das Abprallen an den Wänden in die Überlegungen mit einbezogen werden.
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Kreise
In zwei Aufgabenblättern beschäftigen sich die Schülerinnen und Schüler mit einer Reihe von Aufgaben zum Thema Kreis. Anhand der Gleichungen bestimmen sie Mittelpunkte und Radien, berechnen Schnittpunkte und stellen Tangentengleichungen auf. Auch das Aufstellen einer Kreisgleichung anhand gegebener Tangenten oder Punkte ist Teil der Aufgaben. Ferner stellen sich die Lernenden der Frage, ob gegebene Kreise symmetrisch in Bezug zu einer Geraden sind. Indem sie zu einzelnen Beispielen Skizzen anfertigen, vereinfachen die Schülerinnen und Schüler sich die Aufgaben.
Gesamtwerk
Fit fürs schriftliche Mathematik-Abitur
In diesem Beitrag finden Sie Klausuren für den Grund- bzw. Leistungskurs zur Bearbeitung ohne (hilfsmittelfrei) und mit dem GTR bzw. CAS aus den Bereichen Analysis, Analytische Geometrie und Stochastik. Die Bearbeitung der Klausuren soll zur Vorbereitung auf das schriftliche Abitur dienen. Eine Bepunktung der einzelnen Aufgaben, eine Bearbeitungszeitvorgabe sowie ein Bewertungsraster sorgen dabei für realistische Bedingungen.
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Gesamtwerk
Anwendungen der Analysis
Dieser Beitrag bietet eine Reihe von Textaufgaben, die jeweils durch Bilder unterstützt werden. Es geht um den Zusammenhang zwischen Längen, Flächen und Volumina, und wie unter bestimmten Umständen von einem aufs andere geschlossen werden kann. Dabei ist zunächst vor allem das Verstehen der Aufgabenstellung erforderlich. In vielen der Beispiele geht es um anschauliche Dinge des Alltags, wie einem Sportplatz, einer Brücke oder ein Gefäß, sodass die Schülerinnen und Schüler nicht nur ihr mathematisches Können trainieren, sondern auch ihre Fähigkeiten zur Abstraktion.
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Abstandsberechnungen im Raum
Der Abstand zweier geometrischer Objekte ist die Länge der kürzesten Verbindungslinie zwischen den Objekten. Die kürzeste Verbindungslinie verläuft entlang der Lotgeraden von einem Objekt zum anderen. Mit den Mitteln der analytischen Geometrie bestimmen die Schülerinnen und Schüler die Abstände zwischen Punkten, zwischen Punkt und Gerade bzw. Punkt und Ebene sowie zwischen parallelen bzw. windschiefen Geraden und parallelen Ebenen. Sie wenden die Abstandsberechnung dann z. B. bei der Berechnung von Geschwindigkeiten oder bei der Bestimmung von Volumina an. Ihre Ergebnisse kontrollieren die Jugendlichen mithilfe eines Kreuzworträtsels oder eines Wortgitters
Verwandte Themen
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Kegel und Zylinder
Kegel und Zylinder sind Körper, die auf einem Kreis als Grundfläche beruhen. Während sich jedoch ein Kegel zu einer Spitze hin verjüngt, wird der Zylinder von einem weiteren Kreis als Deckfläche begrenzt. In diesem Beitrag beschäftigen sich die Schülerinnen und Schüler mit diesen beiden Körpern und ihrer Lage im dreidimensionalen Raum. Sie finden heraus, ob sich gegebene Punkte innerhalb oder außerhalb eines Zylinders befinden oder bestimmen die Koordinaten der Spitze eines Kegels. Ferner ermitteln sie die Neigungswinkel von Mantelflächen und untersuchen das Verhalten eines Lichtstrahls, der an einem der Körper reflektiert wird.
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Pyramiden mit drei oder vier Seiten
In diesem Beitrag führen die Schülerinnen und Schüler geometrische Untersuchungen an Pyramiden durch. Dabei stellen sie Gleichungen für Geraden oder Ebenen auf, welche die Kanten und Seiten dieser Körper bilden und ermitteln die Koordinaten von fehlenden Punkten. Oberflächen- und Volumenberechnungen sowie das Bestimmen von Winkeln sind ebenfalls Teil der Aufgaben.
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Grundvorstellungen unterrichten
Wer Neues versteht und mit eigenen Erfahrungen verbindt, lernt es besser – das ist eine Binsenweisheit, die gerade auch für das Lernen von Mathematik gilt. Hier spielen die Grundvorstellungen eine wichtige Rolle. Wie können wir also die Entstehung und Entwicklung von Grundvorstellungen fördern? Die Beiträge in dieser Ausgabe zeigen auf, wie sich Grundvorstellungen vom Beginn der Schulzeit bis in die Sekundarstufe II hinein entwickeln - quer durch die Inhaltsgebiete, von Grundrechenarten bis zur analytischen Geometrie. Dabei wird deutlich, dass es sich bei Grundvorstellungen nicht um statische Vorstellungsbilder handelt, sondern um ein lebendiges System, das mit fortschreitendem Kompetenzaufbau zunehmend erweitert und vernetzt wird. Aus dem Inhalt: Situationen und Rechnungen verstehen, Dezimalbrüche subtrahieren; Vorstellungen zur Wahrscheinlichkeit in Worte fassen; Spiele zum Üben und vernetzen. Die zugehörige MatheWelt "Anteile bilden und Brpche verstehen mit WABIs" lässt Schüler:innen mit didaktischem Legematerial einen grundvorstellungsbasierten Einstieg in die Bruchrechnung erleben.
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Schiefe Prismen
In mehreren Aufgaben untersuchen die Schülerinnen und Schüler schiefe Prismen in einem dreidimensionalen Koordinatensystem. Indem sie mithilfe vorgegebener Koordinaten fehlende Punkte bestimmen und die zu untersuchenden Körper skizzieren, trainieren sie gleichzeitig ihr räumliches Vorstellungsvermögen. Ferner bestimmen die Jugendlichen Abstände und Winkel und berechnen Oberflächen und Volumina.
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Ein Wintergarten geometrisch betrachtet
Mithilfe eines anschaulichen Beispiels wenden die Schülerinnen und Schüler die Werkzeuge der Analytischen Geometrie an. In einer Reihe von Aufgaben, die sich mit der mathematischen Beschreibung eines Wintergartens befassen, bestimmen die Jugendlichen Koordinaten von Eckpunkten, stellen die Gleichungen von Geraden sowie Ebenen auf und berechnen Flächen, Winkel und Rauminhalte.
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Origami
Papierfalten bietet für den Mathematikunterricht eine Vielzahl von Anwendungsmöglichkeiten. So können in der Ebene die Eigenschaften von Figuren oder im Raum in der Analytischen Geometrie der Faltvorgang (Faltebene, Faltwinkel) näher untersucht werden. Die Lernenden entwickeln dabei ihr räumliches Vorstellungsvermögen, da sie bei der Faltung die Lage der geometrischen Objekte direkt betrachten. Im Rahmen dieses Beitrags falten die Schülerinnen und Schüler aus einem quadratischen Blatt Papier einen Diamanten. Die Längen der durch den Faltvorgang entstehenden Strecken dienen als Grundlage für die räumlichen Koordinaten. Ferner bestimmen die Lernenden das Volumen und die Oberfläche sowie einige Winkel zwischen den Kanten und Flächen. Zuletzt dient der gefaltete Diamant als Modell eines größeren Diamanten, der in einer Halle aufgehängt wird. Dabei ermitteln die Jugendlichen seine Lage im Raum und untersuchen, welche Schattenwürfe entstehen, wenn ihn eine Lichtquelle bestrahlt.
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Berechnungen am "gedrehten" Pyramidenstumpf
In den Naturwissenschaften und in der Technik nimmt die Behandlung von Kurvenscharen eine große Rolle bei der Simulation von Vorgängen und Prozessen ein. Die Kurvenscharen werden im Unterricht der Sekundarstufe II in Klassen mit erhöhtem Niveau ausführlich behandelt und sind auch Gegenstand der Abiturprüfung. In einem ausführlichen Theorieteil befassen sich die Lernenden mit Themen wie Null- und Extremstellen, Monotonieverhalten und Grenzwerten von Funktionen und Funktionenscharen. In einer Reihe von Übungsaufgaben wenden sie anschließend das Gelernte an.
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Übungsaufgaben
Dieser Beitrag bietet zwei Übungstests, in denen Ihre Schülerinnen und Schüler mit Ebenen und Geraden arbeiten. Nach der Untersuchung eines Würfels oder eines Dreiecks befassen sie sich intensiv mit Kugeln. Dabei berechnen sie Lagebeziehungen sowohl zwischen einer Kugel und einer Ebene als auch zwischen zwei Kugeln. Ferner bestimmen sie Berührpunkte und Tangentialebenen sowie Schnittkreise. Für realistische Prüfungsbedingungen sorgen eine Zeitvorgabe für jeden der beiden Tests sowie ein Bewertungsschlüssel.
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Licht und Laser
Dieser Beitrag betrachtet die Reflexion von Laser- oder Lichtstrahlen an einer ebenen oder gekrümmten Fläche aus Sicht der Analytischen Geometrie. Es beginnt mit einer kurzen Einführung in das Reflexionsgesetz. Licht- und Laserstrahlen lassen sich in Form von Geradengleichungen beschreiben, für die reflektierenden Flächen kommen Ebenen und Kugeln zum Einsatz. Im Rahmen einiger Übungsaufgaben untersuchen die Lernenden mit den Werkzeugen der Analytischen Geometrie selbst den Reflexionsvorgang und konstruieren reflektierte Strahlen in Form von Geradengleichungen.
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Analytische Geometrie
Dieser Beitrag bietet Ihnen sechs Testklausuren, mit denen Sie die Kenntnisse Ihrer Schülerinnen und Schüler aus dem Bereich der Analytischen Geometrie überprüfen können. Gleichzeitig ermöglichen die Aufgaben es den Lernenden auch, den Stoff zu wiederholen und zu festigen, aber auch ihr räumliches Vorstellungsvermögen zu trainieren. Die Schülerinnen und Schüler konstruieren Geraden und Ebenen oder untersuchen Kugeln, Pyramiden und Prismen. Dabei berechnen sie Tangenten und Tangentialebenen, Schnittpunkte und Schnittwinkel sowie Flächen und Volumina. Falls gewünscht, sorgen ein Beurteilungsschlüssel sowie Zeitvorgaben bei den Aufgaben für realistische Prüfungsbedingungen.
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Schnittpunkte geometrischer Objekte
Rätsel üben auf Kinder und Jugendliche eine ganz eigene Faszination aus. Dieser Beitrag stellt die Schülerinnen und Schüler vor die Herausforderung, einen Lösungssatz in einem Buchstabennetz zu finden. Zur Lösung dieser Aufgabe ist es nötig, Schnittpunkte von geometrischen Objekten zu bestimmen. Unterstützt vom motivierenden Aspekt von Rätseln festigen die Jugendlichen hierbei ihre Kenntnisse im Aufstellen von Geraden- und Ebenengleichungen sowie – sofern die Lösung nicht mit einem GTR erfolgt – im Lösen von (unterbestimmten) Gleichungssystemen.
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Vermischte Übungen
Dieser Beitrag bietet Ihnen eine Reihe von Aufgaben aus dem Bereich der Analytischen Geometrie. Eine Lernerfolgskontrolle sowie Zeitangaben ermöglichen es Ihnen, sie in Form von Übungstests einzusetzen, es spricht aber auch nichts dagegen, dass die Schülerinnen und Schüler sie im Rahmen einer regulären Unterrichtsstunde oder einer Hausübung lösen. Eine praktische Anwendungsmöglichkeit der Werkzeuge der Analytischen Geometrie bietet dabei eine Aufgabe, in der ein Neubau mit Solarmodulen am Dach geometrisch modelliert und untersucht wird.
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Gegenseitige Lage von Geraden
Zwei Geraden können im Raum grundsätzlich drei verschiedene Lagen zueinander haben: parallel, schneidend oder windschief. In diesem Beitrag wird vorgestellt, wie sich diese drei Möglichkeiten in der Analytischen Geometrie unterscheiden und rechnerisch untersuchen lassen. Die Jugendlichen haben die Gelegenheit, sich im Selbststudium oder als Wiederholung mit dieser Thematik vertraut zu machen. An zahlreichen Aufgaben wenden sie ihr neues Wissen an und testen sich in einer Lernerfolgskontrolle.
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Vermischte Übungen
Diese Aufgabensammlung beschäftigt sich intensiv mit Geraden und Ebenen und der Lage, die sie zueinander einnehmen können, aber auch mit Kugeln und Pyramiden. In einer Vielzahl von Aufgaben wiederholen und festigen die Lernenden den Stoff und schulen dabei ihr räumliches Vorstellungsvermögen. Insbesondere eine Übungsaufgabe, in der ein Sonnensegel am Strand modelliert wird, bietet ein anschauliches Beispiel für die praktische Anwendung des Gelernten. Eine Lernerfolgskontrolle bietet die Möglichkeit, die Aufgaben in Form von Übungstests zur Überprüfung der Kenntnisse zu verwenden.
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Das Atoll
Anhand des anschaulichen Beispiels einer kegelförmigen Insel lernen die Jugendlichen, die Werkzeuge, die ihnen die Mathematik in die Hand gibt, anzuwenden. Das Interpretieren und Ergänzen einer Skizze ist ebenso Teil der Aufgaben wie verschiedene Berechnungen. Die Jugendlichen wenden den Satz des Pythagoras an, berechnen die Oberfläche der Insel und machen sich Gedanken darüber, wie ein Tunnel quer durch ihr Inneres verlaufen kann. Anhand der Aufgabe erkennen die Schülerinnen und Schüler, dass sich mit den Mitteln der Mathematik die Wirklichkeit abbilden lässt.
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Berechnungen zur Cheopspyramide
Mit Hilfe dieser Unterrichtseinheit trainieren Ihre Schülerinnen und Schüler intensiv die Grundlagen der Analytischen Geometrie am Beispiel der Cheopspyramide, welche die älteste und größte der drei berühmten Pyramiden von Gizeh in Ägypten ist. Die zugehörigen Aufgabenstellungen erfüllen die Kompetenzerwartungen und inhaltlichen Themenschwerpunkte des Bereichs Analytische Geometrie und Algebra in den aktuellen Kernlehrplänen Mathematik.
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Abstandsberechnungen
Abstandsberechnungen von geometrischen Objekten wie Punkt, Gerade und Ebene sind immer wieder ein wichtiges Thema in der Analytischen Geometrie. Es gibt hierzu Standardverfahren, aber auch Tricks, welche die Berechnung oft sehr vereinfachen.
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Aufgabensammlung Analytische Geometrie
Diese Aufgabensammlung liefert Ihnen und Ihren Schülerinnen und Schülern eine Vielzahl von Herausforderungen aus dem Bereich der Analytischen Geometrie. Die Lernenden beschäftigen sich mit der Lage von Geraden und Ebenen im Raum und untersuchen Würfel, Kugeln und Pyramiden. Auch die Berechnung von Flächen und Volumina, Abständen und Schnittpunkten sowie Schnittwinkeln kommt nicht zu kurz. Mit diesen Aufgaben wiederholen und festigen die Jugendlichen das Gelernte sowohl im Rahmen des Unterrichts als auch zu Hause.
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Abiturvorbereitung
Dieser Beitrag bietet Ihnen sechs Testklausuren, in denen die Jugendlichen ihre Fähigkeiten im Bereich Analytische Geometrie prüfen. Die Lernenden arbeiten mit Punkten und Vektoren in Koordinatensystemen und Vektorräumen und trainieren ihr räumliches Vorstellungsvermögen. Für realistische Prüfungsbedingungen sorgt dabei eine Bearbeitungszeitvorgabe.
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Abiturvorbereitung
Dieser Beitrag bietet Ihnen sechs Testklausuren, in denen die Jugendlichen ihre Fähigkeiten im Bereich Analytische Geometrie prüfen und erkennen, ob sie bereits fit für das schriftliche Abitur sind. Die Lernenden untersuchen Ebenen und geometrische Körper wie Kegel, Kugel und Pyramide sowie deren Lage im Raum und zueinander. Eine Bearbeitungszeitvorgabe sorgt dabei für realistische Bedingungen.
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